Séries entières usuelles

1. Montrer que les fonctions $x \mapsto \ln(1+x)$, $x\mapsto arctan(x)$ admettent un développement en série entière que l'on précisera; on déterminera le rayon de convergence associé.

2. Soit $\alpha \notin \mathbb{N}$. On pose
   $$\left( \begin{array}{c} \alpha \ n \end{array} \right) = \frac{\alpha (\alpha-1)\ldots(\alpha-n+1)}{ n!}.$$
   Calculer le rayon de convergence de la série entière $\sum_n \left( \begin{array}{c} \alpha \ n \end{array}\right) x^n$. Soit $S(x)$ la somme de cette série. Montrer que $S$ vérifie l'équation différentielle $(1+x)S' = \alpha S$. En déduire le développement en série entière de $x \mapsto (1+x)^\alpha$.