TASK 2-2/2-3, Study of the autocovariance matrix between the past and the future in the limit regime: additive noise temporally white.
Dans le cas d'une observation réduite à un bruit seul, étude détaillée de la distribution limite des valeurs propres de la matrice de Gram de l'autocovariance empirique entre passé et futur. Mise en évidence du caractère absolument continu de la distribution, caractérisation de son support qui est une réunion d'intervalles. Lorsque le rapport ML/N est plus petit que 1, l'origine appartient au support, et le comportement de la densité en 0 est précisé. Des conditions sont trouvées pour que le support soit réduit à un unique intervalle. Par ailleurs, il est montré que les valeurs propres de la matrice de Gram étudiée sont localisées au voisinage du support. Ces résultats ont été obtenus dans le cadre de thèse de D. Tieplova, et ont fait l'objet d'un article de conférence soumis. Une version journal sera écrite prochainement. Etude des plus grandes valeurs propres de la matrice de Gram de l'autocovariance empirique lorsque qu'un signal utile représentable sous forme d'état est présent, et que le support de la distribution limite des valeurs propres dues au bruit seul est réduit à un unique intervalle appelé "bulk". La dimension de l'état P et celle du bruit blanc générateur sont supposés fixes. Dans le régime traditionnel, les ML-P plus petites valeurs propres tendent vers 0 et les P plus grandes vers les valeurs propres de la vraie matrice. Dans le régime des grandes dimensions, le nombre de valeurs propres sortant du bulk peut s'avérer nettement plus grand que la dimension de l'état. Par conséquent, il ne semble pas possible d'estimer P par le nombre de valeurs propres sortant du bulk, même si la puissance du signal est suffisante. Ces résultats remarquables, obtenus dans le cadre de la thèse de D. Tieplova, font l'objet d'un article en cours de rédaction. Enfin, un nouvel axe de recherche prometteur a été mis en évidence par W. Hachem (LIGM) en collaboration avec A. Bose (Indian Statistical Institute, Calcutta). Les travaux effectués qui viennent d'être décrits sont fondés sur les valeurs propres positives de la matrice de Gram de la matrice d'autocovariance empirique entre passé et futur. Toutefois, il semble que les valeurs propres, complexes cette fois, de la matrice d'autocovariance empirique, puissent être utilisées avec grand profit pour tester la présence d'un signal lorsque le bruit est blanc temporellement. Il a été établi que lorsque le bruit est blanc temporellement et spatialement, la distribution empirique des valeurs propres complexes converge vers une distribution déterministe qui a été caractérisée. Cela permet de tester l'absence de signal en comparant la distribution des valeurs propres de l'autocovariance empirique à cette limite grâce à la distance de Wasserstein. Les premiers résultats de simulation semblent montrer que l'on obtient par ce biais de meilleures performances qu'en utilisant les valeurs propres de la matrice de Gram de l'autocovariance empirique. Un article de revue a été soumis, et divers prolongements vont être étudiés.TASK 2-4: Study of the properties of spectral densities estimates of the obervation in the limit regime: additive noise spatially white.
Il s'agit ici d'étudier le comportement de statistiques dépendant d'estimateurs de la densité spectrale de l'observation dans le cas où l'observation est un bruit décorrélé spatialement. Ceci permettra de mettre en évidence dans la suite du projet des tests permettant de détecter la présence d'un signal utile (tâche 4). Une étude de la matrice de cohérence spectrale estimée, obtenue en renormalisant l'estimateur obtenu par lissage fréquentiel du périodogramme, a été réalisée. Nous nous plaçons dans un régime asymptotique dans lequel le périodogramme moyenné en fréquence n'est pas consistant, et se comporte donc comme une grande matrice aléatoire de Gram. A chaque fréquence de Fourier, il est montré que la cohérence spectrale estimée est proche de la matrice de Gram de vecteurs Gaussiens i.i.d.. Dès lors, il est possible d'établir le comportement asymptotique du logarithme du déterminant de la cohérence spectrale estimée en absence de signal. Ce travail fait l'objet du début de la thèse d'Alexis Rosuel, a été mené en collaboration avec P. Vallet (IMS). Par ailleurs, le cas où un signal défini comme la sortie d'un filtre excité par un bruit blanc de dimension fixe a commencé à être étudié (P. Vallet). Il a été montré que l'estimateur de la densité spectral obtenu par lissage fréquentiel du périodogramme se comporte à chaque fréquence comme la matrice de Gram d'un modèle Spike additif.