Produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$

Soit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ l'espace vectoriel des matrices $n × n$ à coefficients réels. Quelle est la dimension de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$? Si $A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on définit $<A, B>$ par $<A,B> = tr(AB^{T}).$ Montrer que $<.,.>$ est un produit scalaire. Soit $W$ l'ensemble des matrices diagonales. Montrer que $W$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, et calculer sa dimension. Caractériser le complément orthogonal de $W$. Si $A$ est une matrice quelconque, calculer la projection orthogonale de $A$ sur l'espace $W$.