Polynômes trigonométriques

Dans toute la suite, $n$ désigne un entier naturel. On considère l'ensemble $V_n$ des polynômes trigonométriques à coefficients réels du type

$$f(t) = a_0/2 + \sum_{k=1}^{n} a_k \cos kt$$ (1)

Montrer $V_n$ est un espace vectoriel dont on calculera la dimension. Soient $f,g \in V_n$. On pose

$$<f,g> = \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) g(t) dt$$

Montrer que $<.,.>$ définit un produit scalaire. Si $f$ est définie par (1), calculer $\Vert f \Vert^{2} = <f,f>$ en fonction des coefficients $a_k$. Supposons que $N\geq 1$; on considère la fonction $f_n(t) = \cos nt$. Quelle est la projection orthogonale de $f_n(t)$ sur l'espace $V_{n-1}$ ? Même question si $f_n(t) = \cos nt + 1$.

Soit $a(t) = 1 + \cos t$. On définit $<.,.> _{a}$ par

$$<f,g> _a= \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} f(t) g(t) a(t) dt$$

Montrer que $<.,.>_a$ est un produit scalaire sur $V_n$. Pour un élément $f\in V_n$ donné par (1), calculer $\Vert f \Vert _a^{2} = <f,f>_a$ en fonction des coefficients $a_k$.