Racine carrée d'une matrice

Montrer qu'une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est symétrique réelle si et seulement si il existe des réels $(\lambda_i)$ et des vecteurs $(u_i)$ de ${\mathbb{R}}^n$ formant une famille orthonormale (relativement au produit scalaire canonique sur ${\mathbb{R}}^n$) tels que

$$A = \sum_{i=1}^n \lambda_i u_i u_i^T.$$

Si maintenant $A$ est une matrice symétrique réelle positive, montrer qu'il existe une matrice réelle symétrique positive $B$ telle que

$$A = B^2.$$