Série entière et équation différentielle

On considère la série entière

$$\sum_n \frac{(-1)^{n+1}}{n(2n+1)} x^{2n+1}$$

1. Préciser le rayon de convergence de cette série.
2. Quelle équation différentielle du premier ordre la somme de cette série vérifie-t-elle?
3. Calculer alors
   $$\sum_n \frac{(-1)^{n+1}}{n(2n+1)}.$$