Au bord du cercle de convergence

Soit la série entière $\sum_k a_k x^k$. Son rayon de convergence est supposé être $1$. En supposera en outre que $\sum_k a_k$ est convergente. On appellera $S(x)$ la somme de la série entière dans son domaine de convergence.

1. Montrer que si $\sum_k \vert a_k\vert < \infty$, alors $S(x)$ est continue à gauche en $1$. Nous envisageons maintenant le cas où la série $\sum a_k$ n'est pas absoluement convergente.
2. On pose
   $$M_p^q = a_p+\ldots+a_q.$$
   Réecrire pour tout $x \in [0,1]$ $S_{p,q}(x) = \sum_{k=p}^q a_k x^k$ en fonction des $M_p^k$. En déduire une majoration uniforme de $S_{p,q}(x)$ sur $[0,1]$. En déduire que $S(x)$ est continue en $1$ à gauche et que
   $$\lim_{x \to 1^-} S(x) = \sum_k a_k.$$