Applications du principe du prolongement analytique

Supposons que

$$f,g: \mathcal{O} \to \mathbb{C}$$

sont deux fonctions analytiques sur $\mathcal{O}$ ouvert connexe de $\mathbb{C}$. Si de plus $fg=0$ sur $\mathcal{O}$, montrer que $f$ ou $g$ est identiquement nulle.