Matrice compagnon

1. Evident.
2. $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)=(-2, 1 ,2)$. Les valeurs propres sont $1,-1$ et $2$. La dimension des sous-espaces propres est au moins $1$. Ces sous-espaces sont en somme directe. Comme la dimension de l'espace entier est $3$, on en déduit que la dimension des $E_k$ est exactement $1$. Au manière de procéder  : le polynôme caractéristique est annulateur de $A$. Ces racines étant simples, on déduit du théorème de décomposition primaire que $\mathbb{C}^3 = E_0 \oplus E_1 \oplus E_2$.
   • Base de $ker(A-I)$ : $(1 \, \ 1 \ , \ 1 )^T$
   • Base de $ker(A+I)$ : $(-1 \ , \ 1 \ , \ -1)^T$
   • Base de $ker(A-2I)$ : $(1 \ , \ 2 \ , \ 4)^T$
3. si $(\alpha_0,\alpha_1,\alpha_2)=(2,-5,4)$, on trouve deux valeurs propres $1$ (multiplicité deux) et $2$ (valeur propre simple). On a
   $$A-I = \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & -5& 3 \end{array} \right)$$
   qui n'est manifestement pas de rang $1$ : son rang étant au plus $2$, celui-ci est donc $2$. Le noyau de $A-I$ est de dimension $1$  : la dimenion de l'espace caractéristique associé à la valeur propre $1$ est donc $1$. Et il n'est pas possible de casser l'espace en une somme de sous espaces propres (en effet $E_1 \oplus E_2$ est de dimension $2$). La matrice $A$ ne peut être diagonalisée. Par contre :
   • Base de $ker(A-2I)$ : $e_1=(1 \ , \ 2 \ , \ 4)^T$
   • Base de $ker(A-I)$ : $e_2=(1 \ , \ 1 \ , \ 1 )^T$
   Cherchons un vecteur $e_3$ qui avec $e_1,e_2$ forme une base et qui soit tel que la matrice $A$ soit, dans cette nouvelle base
   $$\left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 &0 & 1 \end{array} \right)$$
   $e_3$ verifie alors $Ae_3 = e_3 + e_2$, i.e. $(A-I)e_3 = e_2$ ce qui implique $(A-I)^2e_3 = 0$. Il suffit de choisir un élément de $ker(A-I)^2$ qui ne soit pas dans $ker(A-I)$ (il en existe un  : $ker(A - I ) \subset ker(A-I)^2$ mais $\mathbb{C}^3 = ker(A-I)^2 \oplus ker(A-2I)$ donc la dimension de $ker(A-I)^2$ est $2$). Prendre alors, par exemple, $e_3 = (0 \ , \ 1 \ , \ 2)^T$. (ça marche)