Puissances d'un bloc de Jordan

Notons que $\Omega$ est une matrice nilpotente (multiplier une matrice à droite par $\Omega$ revient à décaler toutes les colonnes d'un cran vers la droite)  : $\Omega^3 =0$. Naturellement, $\lambda I$ et $\Omega$ commutent, et on peut utiliser la formule du binôme  : pour tout $n\geq 2$

$$(\lambda I + \Omega )^n = \lambda^n I + C_n^1 \lambda^{n-1} \Omega + C_n^2 \lambda^{n-2} \Omega^2.$$

Ainsi,

$$\exp(\lambda I + \Omega ) = I + (\lambda I + \Omega ) + \sum_{n \geq 2} \frac{1}{n !} \left( \lambda^n I + C_n^1 \lambda^{n-1} \Omega + C_n^2 \lambda^{n-2} \Omega^2 \right)$$

$$= \exp (\lambda ) \left( I + \Omega + \frac{1}{2} \Omega^2 \right).$$