Pendule inversé

On considère un chariot homogène de masse $m_1$ se déplaçant le long d'un axe $({\bf0},{\bf i})$; un frottement visqueux de constante $\rho$ s'exerce sur ce chariot. On fixe une barre au point $P$ (voir figure 1) : la liaison en $P$ est parfaite. On suppose en outre que la barre, de longueur $l$ et de masse négligeable, est assujettie à ne se déplacer que dans le plan $({\bf0},{\bf i})$. Une masselotte $m_2$ est fixée à l'extrémité de la barre. Enfin, on appelle $u(t) {\bf i}$ la force extérieure qui est exercé sur le chariot.

Figure 1:

1. En considérant le système $(m_1+barre+m_2)$, appliquer la relation fondamentale de la dynamique en projection sur $({\bf0},{\bf i})$.
2. Reprendre la question en considérant le système $(m_2+barre)$.
3. Des équations précédentes, tirer un modèle des ``petits mouvements''.
4. Proposer un modèle d'état. On considérera la sortie $y(t) ={\bf OP}. {\bf i}$
5. Le système est-il asymptotiquement stable? Justifier empiriquement.
6. Le système est-il observable?